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積分　1/(cosx )^4  

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^{4}x}dx}$

${\displaystyle =\int \left({tan}^{2}x+1\right)\frac{1}{{cos}^{2}x}dx}$     ${\displaystyle \left(\because \frac{1}{{cos}^{2}x}={tan}^{2}x+1\right)}$

${\displaystyle tanx=t}$  とおいて置換積分を行う．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle =\frac{{\left(\sin x\right)}^{\prime }\cos x-\sin x{\left(\cos x\right)}^{\prime }}{{\left(\cos x\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=dt}$ 

となる．したがって

${\displaystyle \int \left({tan}^{2}x+1\right)\frac{1}{{cos}^{2}x}dx}$ ${\displaystyle =\int \left(t^2+1\right)dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{t}^3+t+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{tan}^{3}x+tanx+C}$

（${\displaystyle C}$ は積分定数）

　

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最終更新日： 2023年10月4日

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